إعـــــــلان

تقليص
لا يوجد إعلان حتى الآن.
X

بحث عن الاحتمالات

تقليص
  • الوقت
  • عرض
إلغاء تحديد الكل
مشاركات جديدة

  • بحث عن الاحتمالات

    الاحتمالات

    الهدف :
    أن يتعرف الدارس إلى مفهوم التجربة العشوائية ( إجراء تجربة ما ) ، النواتج الممكنة ،الفضاء العيني.

    الإجراءات والأنشطة :
    إذا رميت قطعة نقدٍ معدنية مرة واحدة ، فما هي النواتج الممكنة ؟
    صورة (وجه) أو كتابة (خلف)
    وطبعاً لا توجد نواتج أخرى ، لأنه لا يوجد لقطعة النقد المعدنية إلا وجهان .
    ـ إذا رميتَ حجرَ نردٍ مرةً واحدةً ، فما هي النواتج الممكنة ؟
    1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6

    إنّ ما قمتَ به برمي قطعة النقد يسمّى تجربة .
    وما قمتَ به برمي حجرَ النرد يسمَّى تجربة .

    لاحظ هنا :
    نحن نستطيع معرفة النواتج الممكنة ، حتى قَبل رمي قطعة النقد المعدنية (التجربة) ، ولكننا لا نعرف أيَّ الوجهين للقطعة سيظهرُ فعلاً قبل رمي قطعة النقد واسقرارها . وكذلك نحن نستطيع معرفة النواتج الممكنة ، حتى قَبل رمي حجر النرد ، ولكننا لانعرف أي رقم سيظهر فعلاً قبل رمي حجر النرد واستقراره .
    ولأننا لا نعلم مسبقاً ما سينتج ، نسّمي تجربة رمي قطعة النقد بالتجربة العشوائية وكذلك نسمي تجربة رمي حجر النرد بالتجربة العشوائية .

    تعريف :
    التجربة العشوائية : هي التجربة التي يُمكننا معرفة جميع نواتجها الممكنة قبلَ إجرائها ولكننا لا نستطيع تحديد أياً من هذه النتائج سيتحقق فعلاً قبل اجراء التجربة.
    الفضاء العيني :
    نُسمَّي النواتج الممكنة عندَ إجراء تجربةٍ ما بـ المشاهدات أو الفضاء العيني ونرمز له بالرمز .
    نقول أنَّ الفضاء العيني لتجربة رَمي قطعة نقد معدنية مرة واحدةً هو مجموعة كل النواتج الممكنة :
    = } صورة ، كتابة {
    وعدد النواتج الممكنة هنا = 2
    مثل :
    لديكَ كيس يحتوي على أربع كرات : كرة حمراء ، كرة زرقاء ، كرة خضراء ، كرة سوداء .
    فإذا قُمتَ بسحبِ كرة واحدة من الكيس دون النظر فيه فما هي النواتج الممكنة ؟
    الحل :
    النواتج الممكنة هي : كُرة حمراء ، كُرة زرقاء ، كُرة خضراء ، كُرة سوداء .
    ماذا تقول عن الفضاء العيني لهذه التجربة ؟
    الفضاء العيني لتجربةِ سحب كرة واحدة هومجموعة كلّ النواتج الممكنة :
    = } كُرة حمراء ، كُرة زرقاء ، كُرة خضراء ، كُرة سوداء {
    وعدد النواتج الممكنة هنا = 4
    مفهوم الإحتمال ( الفرصة )

    الهدف : أن يتعرف الدارس إلى مفهوم الاحتمال (الفرصة) .

    الاجراءات والأنشطة :
    في تجربة رمي حجر نردٍ مرة واحدة ، تبين لك أن هنالك ستة (6) نواتج ممكنة .
    وفي تجربة رمي قطعة نقدٍ معدنية مرة واحدة ، تبين لك أن الفضاء العيني هو مجموعة النواتج الممكنة
    } خلف ، وجه { أو نقول } صورة ، كتابة {
    ـ ولكن ماذا عن احتمال (فرصة) ظهور وجه عند رمي قطعة النقد مرة واحدة ؟
    ـ وماذا عن احتمال (فرصة) ظهور الرقم (6) عند رمي حجر النرد مرة واحدة ؟؟

    لاحظ هنا أن وجهي قطعة النقد متماثلين ولا يختلفان إلا في التسمية ، ولاحظ ان أوجه حجر النرد أيضاً متماثلة ( حجر النرد هو معكعب متماثل تماماً ) .
    إذا درسنا تجرية رمي حجر النرد ، نستطيع بسبب هذا التماثل أن نقول بأن فرصة ظهور الرقم 1 إلى أعلى تساوي فرصة ظهور الرقم 2 وتساوي فرصة طهور الرقم 3 ...... وهكذا .

    هذا يعني أن النواتج الممكنة لها نفس فُرصة الظهور .

    ـ إحتمال (فرصة) ظهور وجه عند رمي قطعة النقد مرة واحدة يساوي ؟
    ـ وإحتمال ( فرصة ) ظهور الرقم (6) عند رمي قطعة النرد مرة واحدة يساوي



    ـ كم عَددِ عناصر الفضاء العيني لتجربة رمي قطعة النرد مرة واحدة ؟؟
    ستة (6) عناصر مميزة { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 }

    ـ وكم عدد مرات ظهور الرقم (6) في النواتج الممكنة لتجربة رمي قطعة النرد مرة واحدة ?
    مرّة واحدة

    ـ إحتمال ( فرصة ) ظهور الرقم( 6 ) = وبالمثل فإن فرصة ظهور الرقم 2 والرقم 5
    لاحظ هنا أن كل ناتج ممكن في هذه التجربة له نفس فرصة الظهور .
    [IMG]file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.gif[/IMG]نقول :
    فرصة ظهور ناتج ما =

    لندرس الآن تجربة رمي قطعة النقد :
    ـ كم عَددِ عناصر الفضاء العيني لتجربة رمي قطعة النقدِ مرة واحدة ؟
    { وجه ، خلف } عدد العناصر = 2
    ـ وكم عدد مرات
    ظهور وجه في النواتج الممكنة لهذه التجربة ؟
    { وجه } مرة واحدة
    ـ إحتمال ( فرصة ) ظهور وجه عند رمي قطعة النقد مرة واحدة هو لماذا ؟!
    عدد المرات التي تظهر فيها البطاقة في النواتج الممكنة هي مرة واحدة (1) .
    \ إحتمال ( فرصة ) سحب البطاقة
    نقول إنّ إحتمال (فرصة) الحصول على احد النواتج الممكنة في تجربة ما تساوي(=)
    عدد مرات ظهور هذا الناتج ، مقسوماً على عدد النواتج الممكنة (عدد عناصر الفضاء العيني)
    الحادث (Event)
    الإجراءات والأنشطة :
    الحادث : هو ناتج واحد ، أو عدة نواتج من النواتج الممكنة عند إجراء تجربة عشوائية ما . وترمز للحادث بالرمز (ح) .
    في تجربة رمي حجر مرةً واحدةً ، تبين لك أن الفضاء العيني هو = {ه 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ه}
    إذا أخذنا أي ناتج أو عدة نواتج ممكنة من مثل {3} ، {1 ، 4} ، {2 ، 5 ، 6} .
    فإننا نتحدث عن الحادث
    {3} ، أو الحادث {1 ، 4} ... وهكذا
    لاحظ هنا أن الحادث هو مجموعة جزئية من الفضاء العيني لتجربة عشوائية .
    نقول : الحادث {1 ، 4} هو مجموعة جزئية من
    { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ة { 3 , 5 , 6 }
    يُمكننا هنا تعريف الحادث (ح) بأنه جزء من الفضاء العيني (ع) ، يُعطى بشروط معينة
    مثل : حادث ظهور عدد يقبل القسمة على 2 بدون باقي في تجربة رمي حجر نرد . = {ه1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6ه}
    ع () =ه 6 ه
    ح = {2 ، 4 ، 6}
    ع (ح) = 3
    مثل : حادث ظهور صورة في تجربة رمي قطعة نقد معدنية .
    = {وجه ، صورة}
    ع () =ه 2ه
    ح = {صورة}
    ع (ح) = 1
    ـ إذا احتوى الحادث على عنصرٍ واحدٍ فقط ، فيسمى
    حادثاً بسيطاً من الفضاء العيني .
    ح = { أحمر } حادث بسيط ع (ح) = 1
    ـ إذا احتوى الحادث جميع عناصر الفضاء العيني فنسميه حادثٌ أكيدٌ
    = {أحمر ، أخضر ، أزرق ، أسود}
    ح = {أحمر ، أخضر ، أزرق ، أسود}
    ع () = 4 ع (ح) = 4
    حادث اختيار أحد الألوان أحمر ، أخضر ، أزرق ، أسود هو حادثٌ أكيد .
    ـ وماذا عن حادث اختيار اللون الأصفر في التجربة هنا ؟؟
    حادث اختيار اللون الأصفر = { } ، ئ إن هذا الحادث لا يمكن أن يكون أحد نواتج التجربة .
    { } ، ئ مجموعة فارغة تخلو من العناصر نُسمي مثل هذا الحادث بـِ الحادث المستحيل
    احتمال وقوع الحادث
    الإجراءات والأنشطة :
    أولاً :
    في تجربة رمي حجر النرد مرة واحدة ، يُمكننا أن نحصل على العدد (5) ونُسمي هذا : حادث "الحصول على العدد 5" .
    نَحنُ نعرف ان هنالك "6" نواتج ممكنة ، هي عناصر الفضاء العيني لتجربة رمي حجر النرد مرة واحدة .
    ونعرف أنّ أي ناتج من هذه النواتج له فرصة الحدوث نفسها بمعنى : فرصة ظهور الرقم 5 هي نفس فرصة ظهور الرقم 6 ونفس فرصة ظهور الرقم 2 ....
    نقول أن إحتمال وقوع حادث "الحصول على العدد 5 " هو 1 من 6 ويُكتب على الصورة .

    لاحظ هنا أن إحتمال وقوع حادث "الحصول على الرقم (5) هو حادث بسيط "
    ح = {5} مجموعة جزئية تحتوي على عنصرٍ واحد وهو حادث له فرصة ظهور تساوي فرصة ظهور أي حادث بسيط آخر في هذه التجربة :
    ح3 = {3} , ح2 = {2} , ح1 = {1}
    ح6 = {6} , ح5 = {5} , ح4 ={4}

    [IMG]file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif[/IMG] ل (ح1) = ل(ح2) = ل(ح3) = ل(ح4) = ل(ح5) = ل(ح6) =
    ثانياً :
    في تجربة رمي حجر النرد مرة واحدة ، يُمكننا أيضاً أن نحصل على الرقم 5 أو الرقم 6 . نُسمي هذا
    "حادث الحصول على رقم أكبر من الرقم 4 ".
    ح1 = {5 , 6}
    نحنُ نعرف أن هنالك (6) نواتج ممكنة هي عناصر الفضاء العيني لتجربة رمي حجر النرد مرة واحدة نقول أن احتمال وقوع حادث " الحصول على رقم أكبر من الرقم 4 " هو 2 من 6 .
    [IMG]file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image003.gif[/IMG] أي ويُكتب ل (ح1) =

    ثالثاً : وفي تجربة رمي حجر النرد لمرة واحدة ، يُمكننا أن نحصل على رقم زوجي . نُسمي هذا : حادث
    "الحصول على عدد زوجي"
    حز = {2 , 4 , 6}

    ع (حز) = 3
    نقول أن احتمال وقوع حادث "الحصول على عدد زوجي " هو 3 من 6 .
    [IMG]file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif[/IMG] أي ويُكتب ل (حز) =
    نستنتج :
    [IMG]file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image005.gif[/IMG] احتمال ( فرصة ) وقوع الحادث =

    [IMG]file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image005.gif[/IMG] ل ( ح) =

    ونُعِّرف احتمال وقوع الحادث ـ نرمز له ل (ح) ـ
    هو النسبة بين عدد عناصر مجموعة الحادث وعدد عناصر مجموعة الفضاء العيني .
    [IMG]file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif[/IMG]

    رابعاً : ادرس الجدول التالي بتمهل لتلاحظ العلاقة بين عدد عناصر الحادث واحتمال (فرصة) ظهور الحادث :
    حادث الحصول على
    رقم زوجي
    حادث الحصول على
    الرقم 5 أو 6
    حادث الحصول على
    الرقم 5
    حز = { 2 , 4 , 6} ح1 = { 5 , 6} ح = { 5 }
    ع ( ح ) = 3 ع ( ح ) = 2 ع (ح) = 1
    ل ( حز) = ل (ح1) = ل (ح) =
    حادث "الحصول على الرقم 5" هو مجموعة جزئية تضم عنصراً واحداً .
    حادث "الحصول على الرقم 5 ، 6 " هو مجموعة جزئية تضم عنصرين.
    حادث "الحصول على رقم زوجي هو مجموعة جزئية تضم 3 عناصر .
    هل لاحظت هنا أنّ فرص :
    "إحتمال وقوع الحادث ، تزداد كلما زاد عدد عناصر الحادث "
    ع(حز) = 3 < ع(ح1) = 2 < ع (ح) = 1
    ل (حز) = < ل(ح1)= <
    الإجراءات والأنشطة :
    مثل :
    إذا سحبت كرةً واحدة من الصندوق المجاور دونَ النظر إليها .

    ـ ما إحتمال سحب كرة صفراء ؟
    ـ وما إحتمال سحب كرة حمراء ؟؟
    ـ وما احتمال سحب كرة خضراء ؟
    أولاً :
    ما هي النواتج الممكنة ؟
    كرة خضراء ، كرة خضراء ، كرة خضراء ، كرة حمراء ، كرة حمراء ، كرة زرقاء ، كرة صفراء

    أ) هل تُلاحظ هنا أن فرص ظهور النواتج الممكنة غير متساوية !!
    فإذا سحبتَ كرة واحدة دونَ النظر إلى الصندوق ، فإن فرص ظهور كرة خضراء أكبر من فرص ظهور كرة حمراء وفرصة ظهور كرة حمراء أكبر من فرصة ظهور كرة صفراء ولكن لماذا ؟؟

    عدد الكرات الخضراء 3 وهو أكبر من عدد الكرات الحمراء 2
    وكذلك :
    عدد الكرات الصفراء 1 وهو يساوي عدد الكرات الزرقاء 1
    ويمكننا أيضاً أن نعرف هنا أنَّ فرصة ظهور كرة صفراء هي نفس فرصة ظهور كرة زرقاء .. لماذا ؟؟
    عدد الكرات الصفراء = عدد الكرات الزرقاء .
    كم عدد عناصر الفضاء العيني لتجربة سحب كرة واحدة هنا ؟ 7 عناصر
    ثانياً : من دراستك لمفهوم المجموعات ، يتبين لك هنا أن :
    = { كرة خضراء , كرة حمراء , كرة زرقاء , كرة صفراء }
    هذه المجموعة تُظهر لنا العناصر المميزة في المجموعة ودون تكرار للعناصر المتشابهة .
    = { (3) كرة خضراء , (2) كرة حمراء , (1) كرة زرقاء , (1) كرة صفراء }
    هذه المجموعة تُظهر لنا كافة عناصر الفضاء العيني والتي تتضمن كافة النواتج الممكنة .

    وهكذا :
    1) إحتمال سحب كرة صفراء :
    عرفت أن الحادث هو مجموعة جزئية من الفضاء العيني لتجربة عشوائية أي أننا نتحدث هنا عن حادث "ظهور كرة صفراء" .
    ح = { كرة صفراء } وهو حادث بسيط يحتوي على عنصر واحد ع(ح) = 1

    احتمال سحب كرة صفراء =

    نقول : حادث " ظهور كرة صفراء " =
    [IMG]file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif[/IMG]
    ) وما إحتمال سحب كرة حمراء ؟؟
    عدد مرات ظهور كرة حمراء في النواتج الممكنة = 2
    عدد عناصر الفضاء العيني = 7


    بالتالي احتمال سحب كرة حمراء
    أو نقول :
    = { (3) كرة خضراء , (2) كرة حمراء , (1) كرة زرقاء , (1) كرة صفراء }

    حادث ( ظهور كرة حمراء ) هو مجموعة جزئية من مجموعة الفضاء العيني :
    ح = { (2) كرة حمراء } وبالتالي ع (ح) = 2

    [IMG]file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif[/IMG] حادث ( ظهور كرة حمراء ) هو
    بإمكانك الان معرفة ما احتمال سحب كرة خضراء ؟
    مثل : إذا إخترنا وبشكل عشوائي رقماً واحداً من مجموعة الأرقام (1) إلى (7) :
    ما إحتمال (فرصة) وقوع حادث واحد من الحوادث الممكنة ؟؟
    الحوادث الممكنة هي { 1 , 2, 3 , 4, 5 , 6 , 7}
    إن أي ناتج من هذه النواتج الممكنة له نفس فرصة الحدوث وتساوي
    حسناً :
    وماذا عن إحتمال (فرصة) وقوع حادث والحصول على رقم فردي ؟؟
    وإحتمال (فرصة) وقوع حادث والحصول على رقم زوجي ؟؟

    لاحظ في هذا المثال أنَّ حوادث
    "الحصول على رقم زوجي" لا تساوي حوادث "الحصول على رقم فردي" .
    حف = { 1 , 3 , 5 , 7} بينما حز = { 2 , 4 , 6 }
    ع ( حف ) = 4 ع ( حز) = 3
    ل (حز) = بينما ل ( حف)=

    نقول :
    إن احتمال ( فرصة ) وقوع الحادث س ، هو عدد فرص وقوع أو ظهورعناصر الحادث س مقسوماً على العدد الكلي لنواتج الفضاء العيني .
    تدريب :
    في الشكل المجاور :
    ـ ما النواتج الممكنة لتجربة تدوير المؤشر حتى يتوقف ؟
    ـ كم عدد عناصر الفضاء العيني لتجربة تدوير المؤشر هنا ؟
    ـ ما احتمال ( فرصة ) أن :
    * أن يقف المؤشر على الرقم 3 ؟

    * أن يقف المؤشر على الرقم 8 ؟
    * أن يقف المؤشر على الرقم 6 ؟
    * أن يقف المؤشر على الرقم 4؟
    الاجراءات والأنشطة :
    ادرس الشكل المجاور والذي يمثل تجربة تدوير مؤشر حتى يتوقف على
    رقم ما :

    أولاً :
    1. ما النواتج الممكنة لهذه التجربة ؟
    2. كم عدد عناصر الفضاء العيني هنا ؟
    3. ما احتمال أن يقف المؤشر على الرقم 5؟

    من المؤكد إنك عرفت الاجابات وستتابع المرحلة التالية من الأسئلة .
    حسناً
    احتمال الحادث البسيط
    أنت تعرفت إلى مفهوم الحادث البسيط ... هو الحادث الذي يحتوي على عنصرٍ واحدٍ فقط في التجربة التي ندرسها هنا ، الحوادث التالية :
    {2} , {6} , {3} , {1} , {4} , {5} , {7} , {8} هي حوادث بسيطة
    ل ( الحادث البسيط ) =
    وبشكل عام نقول احتمال الحادث البسيط :
    [IMG]file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image007.gif[/IMG] ل ( الحادث البسيط ) =
    لاحظ أن الحادث البسيط يتضمن عنصراً واحداً ينتمي إلى المجموعة الكلية ( الفضاء العيني ) .
    ثانياً : ما احتمال الحادث البسيط ان يقف المؤشر على الرقم 9 ؟؟
    حادث "وقوف المؤشر على الرقم 9 " =  ، { }
    إن هذا الحادث لا يمكن ان يكون أحد النواتج لهذه التجربة .
    ماذا نُسمي مثل هذا الحادث ؟؟
    نقول إحتمال الحادث المستحيل = صفر ـ = ل ( )

    = [IMG]file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.gif[/IMG] = صفر [IMG]file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image009.gif[/IMG] ل ( ح ـ حادث مستحيل ) =

    لاحظ أن الحادث المستحيل هو عبارة عن مجموعة فارغة  ، { }
    ثالثا : هل تتذكر مفهوم الحادث الأكيد ؟؟
    ما هو الحادث الأكيد في هذه التجربة ؟؟
    الحادث الأكيد هنا : أن يقف المؤشر على أحد الأعداد من 1 إلى 8
    ح = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }
    لاحظ أنّ الحادث الأكيد يحوي جميع عناصر الفضاء العيني
    كم عدد عناصر الفضاء العيني في هذه التجربة ؟؟؟ 8 عناصر
    وكم عدد عناصر الحادث الأكيد في هذه التجربة ؟؟ 8 عناصر
    لاحظ أن الحادث الأكيد هو عبارة عن مجموعة تساوي مجموعة الفضاء العيني .
    ماذا تستنتج ؟؟
    إحتمال الحادث الأكيد = (1) الواحد الصحيح
    = 1 واحد
    إحتمال الحادث المستحيل = صفر ، احتمال الحادث الأكبر = 1
    [IMG]file:///C:/Users/user/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image007.gif[/IMG] ل ( الحادث البسيط ) =
    -----
يعمل...
X